区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

本文介绍了蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519,Curve25519得到广泛使用,其自身的长处简单说明,没有展开

## 写在前面 上一节说了[扭曲爱德华曲线](https://learnblockchain.cn/article/1627),扭曲爱德华曲线是EdDSA(爱德华曲线数字签名)体制的核心。 本节说下蒙哥马利曲线和Curve25519, 为什么说它呢?因为它与Ed25519签名相关联。 ## 蒙哥马利曲线 蒙哥马利曲线(Montgomery curve)是另一种形式的椭圆曲线,方程如下: ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039324473291.jpg) 其中系数A, B ∈ 有限域K,且B($A^2$ − 4) ≠ 0. 下图是在实数域上方程 的曲线 ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039324771126.jpg) #### 点加法规则 前面我们说了Weierstrass曲线上两点相加的几何意义,是通过两点连接一条直线,与曲线相交第三个点关于x轴的对称点就是所求的和, 蒙哥马利曲线也是这样定义两点求和算法: 已知 )$P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)$两点和之和$P_3(x_3,y_3)$ ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039325484869.jpg) ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039325864426.jpg) 这个计算结果容易得到,令通过点$P_1$,$P_2$的直线为y = lx + m, 可得: ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039326748428.jpg) ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039326831507.jpg) 代入蒙哥马利曲线方程, ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039327016695.jpg) 该方程有三个解$x_1$,$x_2$,$x_3$ ,$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ = 0, 根据维达(Vieta)定理或者直接比较系数,得到: ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039327895150.jpg) 从而得到: ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039328014027.jpg) 代入直线公式,即得到$y_3$坐标,注意最后是关于x轴的对称点。 如何两个点相同即2P求法稍微有些不同。主要是直线斜率计算变成了点切线问题,斜率l: ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039328563565.jpg) 可算得 ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039328686374.jpg) 使用新斜率l代入前面$x_3,y_3$公式,可得到: ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039329021999.jpg) 接下来说下蒙哥马利曲线广泛应用的实例Curve25519。 ## Curve25519 Curve25519是蒙哥马利曲线形式的一个实例, 声称是最快的Diffie-Hellman密钥交换函数,由Daniel J. Bernstein教授在2005年设计,提供128比特位安全性,并未被任何已知专利所涵盖。方程为: ![](https://img.learnblockchain.cn/2020/10/29/16039329267965.jpg) 素数域$p = 2^{255}-19 $, 也是名字中25519的由来。 基点横坐标 x = 9, 群秩为$ 2^{255}+27742317777372352535851937790883648493$, Curve25519的构造避免了许多潜在的实现方面陷阱,它不受计时攻击,能接受任何32字节字符串作为有效公钥(实际工程应用中,0除外),并且不需要验证给定点是否属于曲线,或者是否由基点生成。 2013年斯诺登事件以后,得到大量关注和使用,目前应用已经非常广泛,包括ssh, tls,OpenSSL,Libsodium等,实际成为NIST P-256椭圆曲线算法的替代品(前者被广泛质疑有后门(back door)). 关于Curve25519,先说到这,以后有用到再说。 ## 小结 本文介绍了蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519,Curve25519得到广泛使用,其自身的长处简单说明,没有展开,感兴趣的话以后可以再说明,本文参考 https://eprint.iacr.org/2017/293.pdf https://en.wikipedia.org/wiki/Curve25519 最近几篇的思路是: 爱德华曲线–> 扭曲爱德华曲线–> 蒙哥马利曲线(Curve25519)–> Ed25519签名 好了,下一篇继续介绍区块链中正在使用的Ed25519签名算法! 欢迎关注公众号:blocksight ### 相关阅读: [区块链中的数学-扭曲爱德华曲线](https://learnblockchain.cn/article/1627) [区块链中的数学-迪菲-赫尔曼密钥交换D-H](https://learnblockchain.cn/article/1554) [区块链中的数学-爱德华曲线基本方程和点运算规则](https://learnblockchain.cn/article/1610) [区块链中的数学-RSA签名和安全分析-计时攻击](https://learnblockchain.cn/article/1546) [区块链中的数学 – 基于椭圆曲线的VRF证明验证过程](https://learnblockchain.cn/article/1582) [区块链中的数学 – 基于椭圆曲线的VRF证明生成](https://learnblockchain.cn/article/1545) [区块链中的数学 – secp256k1公钥恢复原理](https://learnblockchain.cn/article/1526) [区块链中的数学 – Uniwap核心算法解析(中)](https://learnblockchain.cn/article/1494)

写在前面

上一节说了扭曲爱德华曲线,扭曲爱德华曲线是EdDSA(爱德华曲线数字签名)体制的核心。

本节说下蒙哥马利曲线和Curve25519, 为什么说它呢?因为它与Ed25519签名相关联。

蒙哥马利曲线

蒙哥马利曲线(Montgomery curve)是另一种形式的椭圆曲线,方程如下:

区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

其中系数A, B ∈ 有限域K,且B($A^2$ − 4) ≠ 0.

下图是在实数域上方程 的曲线

区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

点加法规则

前面我们说了Weierstrass曲线上两点相加的几何意义,是通过两点连接一条直线,与曲线相交第三个点关于x轴的对称点就是所求的和, 蒙哥马利曲线也是这样定义两点求和算法: 已知 )$P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)$两点和之和$P_3(x_3,y_3)$

区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

这个计算结果容易得到,令通过点$P_1$,$P_2$的直线为y = lx + m, 可得:

区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

代入蒙哥马利曲线方程,

区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

该方程有三个解$x_1$,$x_2$,$x_3$ ,$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ = 0, 根据维达(Vieta)定理或者直接比较系数,得到:

区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

从而得到:

区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

代入直线公式,即得到$y_3$坐标,注意最后是关于x轴的对称点。

如何两个点相同即2P求法稍微有些不同。主要是直线斜率计算变成了点切线问题,斜率l:

区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

可算得

区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

使用新斜率l代入前面$x_3,y_3$公式,可得到:

区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

接下来说下蒙哥马利曲线广泛应用的实例Curve25519。

Curve25519

Curve25519是蒙哥马利曲线形式的一个实例, 声称是最快的Diffie-Hellman密钥交换函数,由Daniel J. Bernstein教授在2005年设计,提供128比特位安全性,并未被任何已知专利所涵盖。方程为: 区块链中的数学-蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519

素数域$p = 2^{255}-19 $, 也是名字中25519的由来。 基点横坐标 x = 9, 群秩为$ 2^{255}+27742317777372352535851937790883648493$,

Curve25519的构造避免了许多潜在的实现方面陷阱,它不受计时攻击,能接受任何32字节字符串作为有效公钥(实际工程应用中,0除外),并且不需要验证给定点是否属于曲线,或者是否由基点生成。

2013年斯诺登事件以后,得到大量关注和使用,目前应用已经非常广泛,包括ssh, tls,OpenSSL,Libsodium等,实际成为NIST P-256椭圆曲线算法的替代品(前者被广泛质疑有后门(back door)).

关于Curve25519,先说到这,以后有用到再说。

小结

本文介绍了蒙哥马利曲线和应用实例Curve25519,Curve25519得到广泛使用,其自身的长处简单说明,没有展开,感兴趣的话以后可以再说明,本文参考

https://eprint.iacr.org/2017/293.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Curve25519

最近几篇的思路是: 爱德华曲线–> 扭曲爱德华曲线–> 蒙哥马利曲线(Curve25519)–> Ed25519签名

好了,下一篇继续介绍区块链中正在使用的Ed25519签名算法!

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